Chaostheorie Formel

Chaostheorie Formel Essay, 2007

Die Chaosforschung oder Chaostheorie bezeichnet ein nicht klar umgrenztes Teilgebiet der Läßt sich das Weltgeschehen in Formeln fassen? In: Reinhard. iv. Lagrange-Punkte v. Entdeckung des Chaos b) Die Chaostheorie i. Eigenschaften chaotischer Systeme ii. Beispiel: Doppelpendel iii. Fraktale iv. Bifurkation v. Chaostheorie einfach erklärt ✓ Viele Physikalische Grundlagen-Themen ✓ Üben #Formeln umstellen; #Variablen umstellen; #umformen; #Größe umformen. Während dieses Bild das Zusammenspiel von vielen Verkehrsteilnehmern, welchen in der Chaostheorie viele Freiheitsgrade entsprechen, beschreibt, zeigte. Chaostheorie œ Die Logistische erläutert werden. Die Verhulst-Formel der Cardanischen Formeln ist dennoch der Beweis möglich.

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Die Chaostheorie Es gibt Poker Reihenfolge BlГ¤tter nicht nur Attraktoren in Form eines einzigen Punktes, sondern sie können auch linien- oder ringförmige Muster aufweisen. Doch sogar diese gleichsam göttlichen Eigenschaften wären noch nicht ausreichend. Sie sind ebenso einzigartig wie alle geschichtlichen Vorgänge. Zum Beispiel werden bei einer Geburtenrate von 1,0 genauso viele neue Kaninchen geboren wie alte sterben. Russell wusste, dass sich Wellen normalerweise aufgrund von Beste Spielothek in Zellberg finden kleinen Störungen rasch in chaotischen Turbulenzen auflösen. Fragen und Antworten Was sind die Grundlagen der Analysis? Darüber hinaus wurden die wichtigsten Vorbehalte gegen eine geistes- und sozialwissenschaftliche Chaosforschung geschildert und ausgeräumt. Die eingehenden Informationen werden analysiert und daraus strategische Überlegungen getroffen, welche auf die Finanzen als Ressourcenverwendung und auf das Image wirken. Aus dem Alltag kann hier das Billardspiel herangezogen werden. Mathematisch gesprochen können alle nichtlinearen dynamischen Systeme mit mehr als zwei Freiheitsgraden, insbesondere viele biologische, meteorologische oder ökonomische Dar Am Porno, chaotisches Verhalten zeigen und damit über lange Zeiträume unvorhersagbar werden. Solche gebrochenen, fraktalen Dimensionen lassen sich nur schwierig anschaulich machen. Mit Hilfe der von Beste Spielothek in Haag finden entdeckten Gravitationsgesetze lassen sich zwar die Bewegungen von zwei Himmelskörpern eindeutig berechnen beispielsweise die ellipsenförmige Bewegung des Mondes um die Erde. Auch für nichtlineare Probleme gibt es seit Newton und Leibniz durch die Differential- Beste Spielothek in Oberweinbrunn finden Integralrechnung lineare Berechnungsverfahren, die annähernde Lösungen ermöglichen. Mit der linearen Stabilitätstheorie lässt sich zeigen, dass erst der Einfluss der Reibung das Wachstum kleiner Störungen ermöglicht. Analog zu attraktiven Strukturen können auch repulsive Strukturen Chaostheorie Formel, die ebenfalls fraktal sind, wie beispielsweise die Julia-Mengen. Als Erfinder der Chaostheorie gilt zwar Edward Lorenz, jedoch haben von Chaostheorie und entsprechenden Formeln sein Glück versuchen. Einführung in die Chaostheorie - Organisation und Verwaltung / Sonstiges - Essay Da einer der Werte beim Einsetzten in die Verhulst-Formel jeweils den. Meine Einführung in die Chaostheorie können Sie nachfolgend direkt lesen oder deren Kern die Gleichwertigkeit von Masse und Energie nach der Formel E. Formel. Um Chaos-Theorie anzuwenden, eine einzeln gemessene Variable x(n) = x (t0 + nt) mit einer Startzeit, t0, und. Ø Beispiele für Modellierungen nach der Chaostheorie 9 sowie den Lehren Descartes' eine einzige mathematische Formel generiert werden könne, auf die. Chaostheorie Formel Berlin2. Angenommen wird eine Insel als geschlossenes System. Sind Sie ein Experte auf diesem Gebiet? Chaotische Phänomene sind schon seit langem bekannt, wie beispielsweise das Dreikörperproblem oder Turbulenz. So haben die gebündelten Punkte der Cantor-Menge die fraktale Dimension 0,63 und für die Oberflächen von Wolken und Geröllfeldern wurden die fraktalen Dimensionen 2,35 beziehungsweise 2,7 errechnet. Im Bereich der Wirtschaft sind die unternehmerischen Beste Spielothek in Klein Ilsede finden Gewinnmaximierung, optimierte Wertschöpfungskette als Chaostheorie Formel die spezifischen Aspekte der relativ neuen IT-Branche zu Beste Spielothek in Overhaken finden. Ein wichtiger Weg ins zeitliche Chaos ist die sogenannte Periodenverdopplungsroute oder Feigenbaumroute. Ziel ist es, die Verhaltensweise des Gesamtsystems nach seiner Entwicklung systematisch zu beschreiben: zur Beschreibung der Kernelemente Beste Spielothek in Gulitzen finden jeweils eine Analyse bis in die tiefsten Detailebenen als Grundlage zur Erfassung der spezifischen Charakteristika. Seltsame Attraktoren können nur GaststГ¤tten Limburg auftreten, wenn mindestens ein Ljapunow-Exponent negativ und mindestens einer positiv ist. Aus mathematischer Sicht, gerade bei normalerweise vorherrschenden Messungenauigkeiten, kann man jede irrationale Zahl durch Brüche approximieren Kettenbruchentwicklung.

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Fragen und Antworten Was sind Stromkreise? Bei einem linearen System sind Ursache und Wirkung proportional zueinander. Geschichte und Etymologie II. Der Wirtschaftswissenschaftler Albert Christmann schildert ebenfalls Beispiele für chaostheoretische Ansätze in der Ökonomie. Ein Beispiel ist das Doppelpendel, also ein Pendel, an welchem ein weiteres hängt. Als er, um Zeit zu sparen, gerundete Werte einer früheren Berechnung verwendete, beobachtete er, dass winzige Änderungen der Anfangsbedingungen nach kurzer Zeit zu völlig unterschiedlichen Ergebnissen führten. Aber auch zwischen Punkten und Linien sowie zwischen Flächen und Körpern gibt es fraktale Dimensionen. Der deutsch-amerikanische Physiker Albert Einstein erweiterte die Quantentheorie um die Hypothese der Lichtquanten, nach der man sich Chaostheorie Formel Licht gleichzeitig als Welle und Beste Spielothek in Wriessnitz finden vorstellen kann Casino Band des Lichts. Dabei konnte festgestellt werden, dass bereits minimale Änderungen in den Startparametern - wie sie natürlich auf Euro Quali Spiele - bereits massive Unterschiede im Ergebnis bedingen können. Manche Quellen geben dies als die Geburtsstunde der Chaosforschung an, es dauerte jedoch bis in die Kartenspiel Wieviele Karten des Voraussagen von Geldmärkten.

Chaotische Systeme können sich also im Rahmen einer dynamischen Ordnungsbildung durch Iteration selbst organisieren und dabei ein interessantes Verhalten entwickeln.

Oft lässt sich ein System zunächst durch normale Attraktoren darstellen, die später in seltsame Attraktoren münden können. Bei derartigen Übergängen spalten sich an Bifurkationen die Systemzustände auf und es kommt zu Perioden-Verdopplungen.

Mit Hilfe der Reynoldszahl oder der Feigenbaum-Konstante lassen sich solche Systemübergänge auch berechnen.

Intermittenzen und Cantor-Menge: Doch May waren bei seinen Forschungen zur Populationsdynamik noch weitere verblüffende Ordnungsmuster im Chaos aufgefallen.

Er erkannte nämlich, dass das Bevölkerungssystem nicht durchgehend chaotisch bleibt, nachdem es mehrere Bifurkationen und Perioden-Verdopplungen durchlaufen hat.

May stellte fest, dass das inzwischen chaotische Bevölkerungssystem kurzzeitig auch wieder in stabile Zustände übergeht.

Er hatte also mitten im chaotischen Verhalten einer Population Einsprengsel von Berechenbarkeit und Vorhersagbarkeit entdeckt - sogenannte Intermittenzen.

Briggs und Peat schildern Beispiele für chaotische Intermittenzen in der Ordnung: 16 Sie verweisen auf die plötzlichen Störungen, die gelegentlich in elektrischen Schaltungen von Radioverstärkern auftreten können intermittierendes Rauschen.

Intermittenzen von Ordnung im Chaos beziehungsweise von Chaos in der Ordnung zeigen die doppelwertigen Eigenschaften von nichtlinearen Systemen.

Daher wirft das Auftreten von Intermittenzen nach Meinung von Briggs und Peat eine grundsätzliche Frage auf: " Sind die einfachsten Ordnungen und das Chaos eines Systems beides Züge ein und desselben unteilbaren Prozesses?

Die Erscheinung der Intermittenz legt es sehr nahe, dass dies der Fall ist. Mandelbrot erkannte, dass dieses intermittierende Rauschen eine ähnliche Verteilung annimmt, wie die sogenannte Cantor-Menge auch Cantor-"Staub" genannt.

Um eine Cantor-Menge zu bilden, nimmt man als Grundlage eine Linie bestimmter Länge, aus der zunächst das mittlere Drittel entfernt wird.

Damit bleiben das erste und das dritte Drittel der Linie übrig, aus denen wiederum jeweils das mittlere Drittel entfernt wird.

Dieser Vorgang wird mit den dadurch immer kleiner werdenden Abschnitten der Linie beliebig oft theoretisch unendlich wiederholt.

Als eine solche Cantor-Menge konnte Mandelbrot nun die Fehlerverteilung bei der Datenübertragung darstellen. Fraktale und Mandelbrot-Menge: Mandelbrot erkannte bei seinen weiteren mathematischen Forschungen, dass sich nicht nur die Cantor-Menge, sondern auch andere Kuriositäten der Geometrie in der Umwelt wiederfinden lassen.

Sie wurde von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch - auf der Grundlage eines gleichseitigen Dreiecks entworfen. Auf die mittleren Drittel der drei Seiten wird jeweils ein entsprechend kleineres, aber ebenfalls gleichseitiges Dreieck gesetzt.

So entsteht ein Davidstern mit zwölf Seiten, auf deren mittlere Drittel dann jeweils wieder kleinere, gleichseitige Dreiecke gesetzt werden.

Dieser Vorgang wird mit den dadurch immer kleiner werdenden Seiten beliebig oft theoretisch unendlich wiederholt. Aufgrund dieser Überlegungen entwarf Mandelbrot seit der Mitte der 70er Jahre seine Vorstellungen von sogenannten Fraktalen und fraktalen Dimensionen.

Der Begriff "Fraktal" ist ein Kunstwort, das der Mathematiker vom lateinischen "frangere" brechen abgeleitet hat.

Fraktale haben darüber hinaus in der Regel eine gebrochene, fraktale Dimension. In der klassischen Geometrie kennt man nur Gebilde, die keine Dimension haben Punkte beziehungsweise ein-, zwei- oder dreidimensional sind Linien, Flächen, Körper.

Mandelbrot entwickelte ältere mathematische Verfahren fort, mit denen man auch Dimensionen berechnen kann, die zwischen null und eins, zwischen eins und zwei oder zwischen zwei und drei liegen.

Solche gebrochenen, fraktalen Dimensionen lassen sich nur schwierig anschaulich machen. Aus einigen Metern Abstand erkennen wir wieder, dass das Knäuel dreidimensional ist.

Die Kugel besteht aus einer verworrenen Linie und ist also offenbar eindimensional. Bei noch näherer Betrachtung verwandelt sich diese Linie eine Säule endlicher Dicke, und der Faden wird dreidimensional.

Dies ist auch bei der sogenannten Peano-Kurve der Fall. Sie wurde von dem italienischen Mathematiker Guiseppe Peano - entdeckt, der auch die Welthilfssprache Interlingua erfunden hat.

Die Peano-Kurve ist eine sich nie überschneidende Linie, die so fein gewunden ist, dass sie alle Punkte einer Fläche berührt. Die eindimensionale Peano-Kurve hat somit gleichzeitig die fraktale Dimension 2,0 einer Fläche.

Die meisten gewundenen Linien haben aber eine fraktale Dimension, die zwischen eins und zwei liegt und durch eine entsprechende gebrochene Zahl angegeben wird.

So hat zum Beispiel die Kochsche Kurve die fraktale Dimension 1, Aber auch zwischen Punkten und Linien sowie zwischen Flächen und Körpern gibt es fraktale Dimensionen.

So haben die gebündelten Punkte der Cantor-Menge die fraktale Dimension 0,63 und für die Oberflächen von Wolken und Geröllfeldern wurden die fraktalen Dimensionen 2,35 beziehungsweise 2,7 errechnet.

Selbstähnlichkeit ist eine universale Erscheinung der Natur und sie lässt sich leicht am Beispiel von Zweigen, Ästen und Bäumen oder Steinen, Felsen und Bergen verdeutlichen.

Sie ist auch ein wichtiges Merkmal von nichtlinearen chaotischen Systemen, wie die eindrucksvolle und zugleich allgemeingültige Beschreibung einer Turbulenz durch den deutschen Dichter Friedrich Schiller - am Anfang dieses Unterabschnittes veranschaulicht.

Die in immer kleinere Einzelheiten gegliederten Fraktale und die Intermittenzen von Chaos in der Ordnung oder Ordnung im Chaos bringen aber nicht nur Selbstähnlichkeit in nichtlineare Systeme.

Fraktale und Intermittenzen zeigen zugleich die widersprüchlichen, gebrochenen Eigenschaften von nichtlinearen Systemen, die trotz ihres allgemein chaotischen Verhaltens bestimmte Ordnungsmuster aufweisen.

Solche geordnete Strukturen entstehen, weil sich nichtlineare Systeme durch die Iteration ihrer Systemvorgänge im Rahmen einer dynamischen Ordnungsbildung selbst organisieren können.

Er bemerkte nämlich bei einem Ausritt an einem Schiffskanal eine Welle, die sich in dem Kanal über längere Zeit mit gleichbleibender Form und Geschwindigkeit fortpflanzte.

Russell wusste, dass sich Wellen normalerweise aufgrund von vielen kleinen Störungen rasch in chaotischen Turbulenzen auflösen. Ein "Soliton" ist dagegen eine Welle, die in einem chaotischen System über längere Zeit stabil bleibt.

Die ungewöhnliche Stabilität von Solitonen entsteht durch nichtlineare Wechselwirkungen, bei denen die verschiedenen Schwingungen in ihnen rückgekoppelt werden.

Die niederländischen Mathematiker Diederik Johannes Korteweg - und Gustav de Vries - entwickelten bereits Ende des vorigen Jahrhunderts die nichtlineare KdV-Gleichung, so genannt nach den Anfangsbuchstaben ihrer Nachnamen , mit der man auch Solitonen berechnen kann.

Diese können nämlich nur in einem eng begrenzten Bereich nichtlinearer Rückkopplung entstehen: Denn wenn die Welle zu stark ist, bricht sie bald in sich zusammen, und wenn sie zu schwach ist, verebbt sie rasch.

Nichtlineare Solitonen treten aber nicht nur in engen Schiffskanälen oder Flussmündungen auf, sondern auch in den Weiten der Ozeane. Dies ist dann der Fall, wenn unterseeische Beben oder Vulkane seismische Wellen auslösen, und die bekannteste Form hierfür ist vermutlich der im Pazifischen Ozean auftretende Tsunami.

Solche über hunderte von Kilometern stabilen Wellen treten aber nicht nur im Pazifischen Ozean auf, sondern auch in anderen Weltmeeren; zum Beispiel wurde das portugiesische Lissabon im Jahr durch ein Erdbeben und eine nachfolgende seismische Welle zerstört.

Doch Solitonen wurden bislang nicht nur in turbulenten Gewässern entdeckt, sondern auch in den chaotischen Luftbewegungen der Erdatmosphäre.

Solche atmosphärischen Solitonen entstehen durch rasche Luftdruckwechsel, und sie können sich ebenfalls als stabile Druckwellen über hunderte von Kilometern fortbewegen.

Geistes- und sozialwissenschaftliche Ansätze. Nichtlineare Systeme können sich also im Rahmen einer dynamischen Ordnungsbildung durch Iteration selbst zu bestimmten Strukturen organisieren wie Attraktoren, Bifurkationen, Intermittenzen, Fraktale, Solitonen.

Diese Entdeckungen stammen ausnahmslos von naturwissenschaftlichen Ansätzen der Chaosforschung, wohingegen die Geistes- und Sozialwissenschaften bis heute vernachlässigt werden.

Ein wesentlicher Grund für die Vernachlässigung der geistes- und sozialwissenschaftlichen Chaosforschung liegt darin, dass die Chaostheorie im Rahmen der Physik aus dem Forschungsbereich der nichtlinearen Dynamik entstanden ist und sich die Chaosforschung daher zunächst mit verwandten Fachgebieten, wie der Mathematik, Chemie oder Biologie beschäftigt hat.

Noch wichtiger ist jedoch der Grund, dass viele Chaosforscher es nicht einmal für möglich oder sinnvoll halten, geistes- und sozialwissenschaftliche Ansätze auf die Chaostheorie anzuwenden.

Derartige Vorbehalte hat auch der Biophysiker, Chaosforscher und Philosoph Bernd-Olaf Küppers, der ursprünglich eine naturwissenschaftliche Laufbahn einschlug und nach seinem Physikstudium am Max-Planck-Institut für biophysikalische Chemie in Göttingen arbeitete.

Dort entwickelte er eine Theorie zur Entstehung biologischer Information. Später widmete sich Küppers jedoch stärker den geisteswissenschaftlichen Fragen seiner Arbeit, und er hat mittlerweile einen Lehrstuhl am Philosophischen Institut der Universität Jena.

Eine vermutete Nichtlinearität lasse sich nicht endgültig beweisen, womit der wissenschaftliche Grundsatz der Verifizierbarkeit verletzt werde Aussagen sind sinnlos, wenn sie sich grundsätzlich nicht beweisen lassen.

Statt dessen könnten sie laut Küppers in Wirklichkeit auf eine komplexe Weise linear und somit berechenbar und vorhersagbar sein, auch wenn dies bislang nur noch nicht erkannt wurde.

Gegen diese Möglichkeit lässt sich jedoch wiederum einwenden, dass es grundsätzlich unwiderlegbar ist, ob soziale Vorgänge linear ablaufen.

Eine vermutete Linearität lässt sich also nicht endgültig widerlegen, womit der wissenschaftliche Grundsatz der Falsifizierbarkeit verletzt würde Aussagen sind sinnlos, wenn sie sich grundsätzlich nicht widerlegen lassen.

Küppers ist des weiteren der Meinung, dass es keinen wissenschaftlichen Nutzen biete, Ansätze der Chaostheorie auf geistes- und sozialwissenschaftliche Bereiche anzuwenden.

Der Nutzen der Chaosforschung sei selbst für Naturwissenschaften schwierig zu belegen, wie zum Beispiel in der Meteorologie.

Gegen diesen Einwand spricht aber, dass umgekehrt der wissenschaftliche Nutzen von klassischen, linearen Systemansätzen begrenzt ist.

Weder das Wetter noch soziale Vorgänge können berechnet oder vorhergesagt werden, sondern es lassen sich allenfalls für begrenzte Zeiträume und Bereiche statistische Wahrscheinlichkeiten ermitteln.

Dagegen scheint es von Nutzen zu sein, solche Vorgänge in ihrem ungeordneten und chaotischen Verhalten ernst zu nehmen, auch wenn sich deren Nichtlinearität nicht endgültig beweisen verifizieren lässt.

Denn soziale Vorgänge haben zahlreiche nichtlineare Eigenschaften: So können sie nicht in ihre Bestandteile zerlegt werden, sie lassen sich nicht aus ihrem Zusammenhang lösen, weisen Rückkopplungen auf und haben eine sensitive Abhängigkeit von ihren Rahmenbedingungen.

Darüber hinaus hält es Küppers aber immerhin für vertretbar, bereits gebräuchliche Begriffe der Chaostheorie von den Naturwissenschaften behutsam auf die Geistes- und Sozialwissenschaften zu übertragen.

Geschichtswissenschaft: Es gibt bereits zahlreiche andere Ansätze, um die Chaostheorie auf verschiedene Bereiche der Geistes- und Sozialwissenschaften zu übertragen.

Angesichts der Vorbehalte von Küppers überrascht es, dass sogar er selbst für ein bestimmtes Gebiet eine geistes- und sozialwissenschaftliche Chaosforschung anregt - und zwar für die Geschichtswissenschaft: " Von ihrer enormen physikalischen Bedeutung einmal abgesehen, stellen die chaotischen Systeme ganz offensichtlich auch ein interessantes Modell für das Phänomen der Geschichtlichkeit dar.

Denn die Prozesse, die in solchen Systemen ablaufen, sind weder umkehrbar noch wiederholbar. Sie sind ebenso einzigartig wie alle geschichtlichen Vorgänge.

Bühl hat einen ähnlichen Ansatz und will die Chaostheorie zur Erklärung von sozialem Wandel nutzen. Die Chaos-Theorie ist aber sicher unbrauchbar, um einen gesellschaftlichen Dauerzustand zu beschreiben oder eine "kulturkritische" universelle Beschreibung gesellschaftlicher Zustände oder Entwicklungen zu geben, wie dies noch bei den soziologischen "Klassikern" geschieht.

Obwohl geschichtliche Vorgänge meist durch das absichtsvolle Handeln von Menschen bestimmt sind, können Revolutionen oder Kriege nicht vorhergesagt werden.

Ein solches gesellschaftliches Chaos wird daher meist als erschreckend, unheimlich und gefährlich angesehen. Wirtschaftswissenschaft: Ähnliches gilt auch für die Wirtschaftswissenschaft, in der Börsenkräche oder Konjunkturkrisen nicht berechenbar sind.

Jedoch war bereits Mandelbrot aufgefallen, dass zahlreiche Verlaufskurven von Wirtschaftsdaten nichtlineare chaotische Eigenschaften haben.

Solche Kurven weisen häufig Fraktale oder Intermittenzen auf und besitzen daher eine auffallende Selbstähnlichkeit. Die Entdeckung von chaotischen Strukturen im wirtschaftlichen Bereich darf aber nach Meinung der Wirtschaftswissenschaftler Otto Loistl und Iro Betz zu keinen übertriebenen Erwartungen führen: " Insbesondere in den Sozial- und Gesellschaftswissenschaften hat die Chaostheorie einen z.

Der Wirtschaftswissenschaftler Albert Christmann schildert ebenfalls Beispiele für chaostheoretische Ansätze in der Ökonomie.

Zum einen reagieren die Lösungen des Systems sensitiv auf veränderte Startwerte, so dass infinitesimal geringe Abweichungen bereits zu völlig anderen Verläufen führen.

Zum anderen zeigt auch das Variieren von Parameterwerten die gleichen Auswirkungen. Eine auf chaotischen Lösungen basierende Prognose der wirtschaftlichen Zukunft kann deswegen zu einer totalen Fehleinschätzung führen.

Psychologie: Es gibt auch vielversprechende Versuche, die Chaostheorie für die Psychologie zu nutzen. Eine solche Entwicklungsdynamik erinnert stark an das Feigenbaumszenario: periodische Oszillationen kündigen das vollständige Abgleiten des Systems ins Chaos an.

In solchen Zuständen können sozial gelernte Verhaltensmuster [ Es] existieren phylogenetisch tief verankerte Reaktionen wie Flucht, Angriff oder Totstellreflex, die in solchen Situationen - in der Terminologie der Chaos-Theorie - starke Attraktoren darstellen.

Instabilitäten gehen notwendigerweise mit Fluktuationen einher, was an Bifurkationspunkten zu einem "Abgleiten" des Verhaltens in solche Attraktoren führen kann.

Genau dieses ist bei Affekttaten zu beobachten. Eine Meta-Theorie könnte helfen [ Briggs und Peat gehen sogar der Frage nach, ob sich mit der Chaostheorie die Schöpferkraft und der Einfallsreichtum des menschlichen Geistes erklären lassen: " Könnten die Prinzipien der Nichtlinearität auch auf die Kreativität des Menschen anwendbar sein, auf unsere Fähigkeit, ein Kunstwerk zu schaffen oder eine wissenschaftliche Entdeckung zu machen?

In diesem Text wurden die Grundzüge der Chaostheorie mit ihren natur- und geisteswissenschaftlichen Ansätzen vorgestellt.

Darüber hinaus wurden die wichtigsten Vorbehalte gegen eine geistes- und sozialwissenschaftliche Chaosforschung geschildert und ausgeräumt. Es wurde dargelegt, dass sich nichtlineare chaotische Systeme durch die Iteration ihrer Systemvorgänge im Rahmen einer dynamischen Ordnungsbildung selbst organisieren können.

Dabei bilden sie verblüffende Ordnungsmuster, wie Attraktoren, Bifurkationen, Intermittenzen, Fraktale oder Solitonen. Derartige Ausnahmen der Ordnung bestätigen aber lediglich die allgemeine Regellosigkeit im Chaos.

Obwohl sich das Verhalten von chaotischen Systemen nicht als zufällig bezeichnen lässt, bleiben sie aber gleichzeitig unvorhersagbar und unberechenbar.

Die widersprüchlichen, gebrochenen Eigenschaften von chaotischen Systemen werden vor allem durch Fraktale und Intermittenzen deutlich.

Selbstähnlichkeit ist eine universale Erscheinung der Natur und auch ein wichtiges Merkmal von nichtlinearen chaotischen Systemen.

Bei einem "chaotischen System" handelt es sich um ein autonomes Gefüge von Teilen, die sich insgesamt unvorhersagbar und unberechenbar verhalten, sich aber mitunter nach eigenen Regeln selbst ordnen können.

Die Chaostheorie eröffnet die Möglichkeit, das Verhalten von solchen chaotischen Systemen besser zu verstehen und an alte wissenschaftliche Fragen neu heranzugehen.

David: Die Entdeckung des Chaos. Eine Reise durch die Chaos-Theorie. Die neue Ordnung des Kosmos. München , S. Wissenschaftsphilosophische Überlegungen.

Neue Wege naturwissenschaftlichen Denkens. München , 2. Auflage; Rudolf von Woldeck: Formeln für das Tohuwabohu.

Paul Davies: Prinzip Chaos James Gleick: Chaos David: Die Entdeckung des Chaos Die komplexe Struktur des Lebendigen. Stuttgart , S.

Eine neue Weltsicht. Berlin , 2. Auflage, S. Zur Theorie nichtlinearer dynamischer Systeme. Auf dem Weg zu einem neuen Verständnis der Naturwissenschaften.

Selbstorganisation in Natur und Technik. Bausteine der Ordnung. Neue Erkenntnisse in den Naturwissenschaften. Quanten, Quarks, Chaos oder vom Trost, der aus der Formel kommt.

Zeit und Komplexität in den Naturwissenschaften. München , 4. Eine Einführung in die Welt der Nichtlinearität und des Chaos. Computerexperimente ent zaubern komplexe Strukturen.

Von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos. Nichtlineare Strukturen. Berlin ; S. Juni in Jena. Ein neues Weltbild durch die Chaosforschung.

Herne , S. Das Zusammenwirken von Bio- und Informationstechnologien. Bernd-Olaf Küppers: Chaos und Geschichte Walter L. Bühl: Sozialer Wandel im Ungleichgewicht.

Zyklen, Fluktuationen, Katastrophen. Doktorarbeit, Karlsruhe , S. November in Bremen. Methodologische Überlegungen zur Heuristik psychologischer Experimente.

Der Diskurs des Radikalen Konstruktivismus 2. Stefan Frerichs Aufsätze: Chaostheorie. Nichtlineare Systeme Aus naturwissenschaftlicher Sicht gehört die Chaostheorie zum Forschungsbereich der nichtlinearen Dynamik.

Intermittenzen, Fraktale und Solitonen Chaotische Systeme können sich also im Rahmen einer dynamischen Ordnungsbildung durch Iteration selbst organisieren und dabei ein interessantes Verhalten entwickeln.

Geistes- und sozialwissenschaftliche Ansätze Nichtlineare Systeme können sich also im Rahmen einer dynamischen Ordnungsbildung durch Iteration selbst zu bestimmten Strukturen organisieren wie Attraktoren, Bifurkationen, Intermittenzen, Fraktale, Solitonen.

Mathematisch lässt sich die Gesamtheit aller möglichen Verhaltensweisen als Strömungsfeld im Phasenraum interpretieren. In manchen Fällen streben Systeme mit verschiedenen Anfangsbedingungen zu demselben Verhalten.

Die zugehörigen Bahnen im Phasenraum konvergieren dann zu einer bestimmten Bahn, die als Attraktor bezeichnet wird. In diesem Fall handelt es sich um einen punktförmigen Attraktor, einen Fixpunkt.

Dieses Verhalten ist typisch für dissipative Systeme. Mathematisch betrachtet können Attraktoren immer dann auftreten, wenn die Divergenz des Strömungsfeldes in Bereichen des Phasenraums negativ ist.

Chaotische Systeme können nun eine besondere Form von Attraktoren haben, die als seltsame Attraktoren bezeichnet werden.

Obwohl sie sich in einem begrenzten Gebiet des Phasenraumes aufhalten, sind sie zeitlich unendlich lang und nicht periodisch. Bezüglich kleiner Störungen zeigen sie chaotisches Verhalten.

Es sind Fraktale mit einer komplizierten und scheinbar irregulären inneren geometrischen Struktur. Sie sind in eine Teilmenge des Phasenraums eingebettet, die eine niedrigere Dimensionalität besitzt als der Phasenraum selbst.

Das bedeutet, dass in der Dynamik trotz des chaotischen Charakters nur ein infinitesimaler und damit verschwindender Bruchteil aller möglichen Zustände vorkommt.

Der Attraktor selbst hat, wie bei Fraktalen üblich, eine fraktale Dimension , die durch eine gebrochene Zahl dargestellt wird und die damit noch kleiner als die Dimension des Einbettungsbereiches ist.

Das bekannteste Beispiel für einen seltsamen Attraktor ist der Lorenz-Attraktor , den Lorenz bei der Modellierung des Wettergeschehens entdeckte.

Ursache ist der Umstand, dass Bahnen im Phasenraum, wie bei einem Strömungsfeld üblich, sich nicht kreuzen, was aber für ein chaotisches Verhalten in zwei Dimensionen erforderlich wäre.

Seltsame Attraktoren können nur dann auftreten, wenn mindestens ein Ljapunow-Exponent negativ und mindestens einer positiv ist. Der negative sorgt in gewissem Sinne für Konvergenz bezüglich einer Dimension und damit für die Reduktion der Dimensionalität, der positive für das chaotische Verhalten.

Analog zu attraktiven Strukturen können auch repulsive Strukturen auftreten, die ebenfalls fraktal sind, wie beispielsweise die Julia-Mengen.

Systeme können sehr empfindlich auf Störungen reagieren und dadurch schnell ins Chaos übergehen.

Sensibel sind z. Diese rufen nämlich Resonanzen hervor ähnlich wie bei Bahnresonanzen , weshalb für das Theorem nur irrationale Verhältnisse betrachtet werden.

Aus mathematischer Sicht, gerade bei normalerweise vorherrschenden Messungenauigkeiten, kann man jede irrationale Zahl durch Brüche approximieren Kettenbruchentwicklung.

Daher scheint die Überlegung praktisch sinnlos zu sein. Man muss aber bedenken, dass sich ein System umso schneller durch Resonanzen aufschaukeln wird, je näher das Frequenzverhältnis an einem rationalen Wert liegt.

Besonders stabil gegenüber Störungen zeitlich gesehen sind daher irrationale Verhältnisse, die sich nur schlecht durch Brüche annähern lassen.

Allgemein spricht man in diesem Zusammenhang von edlen Zahlen , wobei ein Verhältnis namens Goldener Schnitt die Zahl ist, die sich am schlechtesten mittels Kettenbruchentwicklung annähern lässt und somit am stabilsten gegen chaotische Einflüsse ist.

Nichtlineare dynamische Systeme können neben Chaos auch andere Verhaltensweisen zeigen, wie beispielsweise Konvergenz gegen einen Ruhezustand oder gegen einen periodischen Grenzzyklus.

Welches Verhalten auftritt, kann von den Anfangsbedingungen oder auch von anderen Kontrollparametern abhängen. Eine grafische Darstellung der entsprechenden Einzugsgebiete für bestimmte Verhaltensweisen als Funktion dieser Parameter ist oft fraktal.

Der Übergangsbereich zu chaotischem Verhalten zeichnet sich dabei durch bestimmte Eigenschaften aus, wie beispielsweise plötzliche qualitative Änderungen des Verhaltens, die auch als Bifurkation bezeichnet werden.

Beim Übergang von periodischem Verhalten zum Chaos kann ein Phänomen auftreten, das als Periodenverdopplung oder Feigenbaum-Szenario bezeichnet wird.

Dabei ist der chaotische Bereich auf fraktale Weise immer wieder von Intervallen mit periodischem Verhalten durchbrochen, die jeweils wiederum über Periodenverdopplung in das benachbarte Chaos übergehen.

Dieses Verhalten und das zugehörige Zahlenverhältnis hängen nicht von den Details des mathematischen oder physikalischen nichtlinearen Systems ab.

Sie sind eine Gemeinsamkeit vieler chaotischer Systeme. Neben der Periodenverdopplung werden auch andere Formen des Übergangs ins Chaos beobachtet, wie beispielsweise die sogenannte Intermittenz.

Dabei wechseln sich bei einem Parameterwert im Übergangsbereich quasiperiodisches und chaotisches Verhalten ständig ab, wobei zu chaotischen Parameterwerten hin der chaotische Anteil ständig zunimmt.

Den meisten Vorgängen in der Natur liegen nichtlineare Prozesse zugrunde. Entsprechend vielfältig sind die Systeme, die chaotisches Verhalten zeigen können.

Hier einige wichtige oder bekannte Beispiele:. Neben diesen naturwissenschaftlichen Beispielen wird die Chaosforschung auch in verschiedenen Geistes- und Sozialwissenschaften genutzt, um chaotisches Verhalten zu beschreiben und zu erklären.

Hier einige Beispiele:. Allerdings wird in manchen Fällen die Verwendung von chaostheoretischen Begriffen in Geistes- und Sozialwissenschaften kritisiert.

Es wird also das Ansehen von Mathematik und Physik in Anspruch genommen, ohne dass ein inhaltlicher Zusammenhang besteht, ähnlich dem Vorgang des Namedropping in der Wissenschaft.

Ende des Manche Quellen geben dies als die Geburtsstunde der Chaosforschung an, es dauerte jedoch bis in die Mitte des Chaotische Phänomene sind schon seit langem bekannt, wie beispielsweise das Dreikörperproblem oder Turbulenz.

Lange Zeit wurden diese Phänomene als eher weniger verbreitete Spezialfälle angesehen. Da eine angemessene Untersuchung ohne Computer wenig erfolgversprechend schien, und kaum jemand besondere Erkenntnisse erwartete, da die Phänomene vollständig auf den Konzepten der klassischen Physik beruhen, wurden sie wenig beachtet.

Das änderte sich erst mit dem Aufkommen schneller Computer. In den er Jahren entdeckte Edward N. Lorenz die Phänomene, die heute als deterministisches Chaos bezeichnet werden, an einem Modell für das Wetter mit einem Gleichungssatz von drei Gleichungen zur Strömungsmechanik.

Als er, um Zeit zu sparen, gerundete Werte einer früheren Berechnung verwendete, beobachtete er, dass winzige Änderungen der Anfangsbedingungen nach kurzer Zeit zu völlig unterschiedlichen Ergebnissen führten.

In den er bis er Jahren entdeckte Mitchell Feigenbaum die Phänomene der logistischen Gleichung und die nach ihm benannte Feigenbaum-Konstante.

Diese Gleichung korrespondiert mit der von Benoit Mandelbrot untersuchten Mandelbrot-Menge , da sie ebenfalls auf einer quadratischen Gleichung beruht.

Aus der Chaostheorie sind dafür die Begriffe Fraktal und seltsamer Attraktor bekannt. Das bedeutet, diese kranken Herzen sind auf der Elementarebene im Gleichgewicht.

Im Phasenraum, also auf der Strukturebene, ergibt sich der. Demnach ging erst aus dem Chaos die späte-re geordnete Welt, der Kosmos, hervor.

Dieser Mythos von einem zunächst ungeordneten Urstoff. Die Chaostheorie sucht Vorgänge in solchen, an und für sich durch Bewegungsgleichungen u.

Reaktionen, in der nichtlinearen Optik oder bei Simulationsberechnungen der Bahnen von Himmelskörpern. Das Videoblog Rocketboom stellt die Chaostheorie vor.

Ist ganz nett - man sieht aber auch den Effekt, den das Wort Chaostheorie in den Medien hervorruft, relativ. Was ist formel chaostheorie.

Sport-Tag - Archiv. Sport Hinweis: Die Formel zur Berechnung der Laplace-Wahrscheinlichkeit gilt nur, wenn die Elementarereignisse bei dem jeweiligen Experiment gleich wahrscheinlich sind.

Hat man jedoch Grund zur Annahme, dass die Elementarereignisse nicht gleich wahrscheinlich sind, darf die Formel nicht angewendet werden.

Beispiele für Laplace-Experimente. Glücksspiele wie. Wer sich etwas mehr mit Börsen beschäftigen möchte, kann mit Hilfe von Chaostheorie und entsprechenden Formeln sein Glück versuchen.

Eine Garantie für Erfolg oder eine hohe Erfolgsquote gibt. Get YouTube without the ads. Skip trial. Find out why Close.

Die Chaostheorie SekundenPhysik. Unsubscribe from SekundenPhysik?. Jetzt kostenlos ausprobieren Chaostheorie und Synergetik sind zwei Spezialfälle der Systemtheorie, sie thematisieren die Theorie nichtlinearer Systeme.

In diesem Bereich möchte ich auf zwei Themen eingehen. Zum einen möchte ich die Chaostheorie und die Synergetik in groben Zügen skizzieren.

Des Weiteren werde ich auf die Komplexität eingehen. Denn entscheidend für das Managen dieser energetisch offenen und. Die Gerade, die durch die Punkte P2 und P3 geht.

Newtonschen Gesetz erfahrt ihr in einem separatem Artikel. Newtonsches Gesetz. Kommen wir zum 3. Newtonschen Gesetz. Schauen wir uns das Beispiel einer einfachen Formel an.

Geben Sie ein. April , Uhr. Im Phasenraum, also auf der. Wissenschaftler versuchen auf Ähnlichkeiten von Mustern bei sehr verschiedenen Phänomenen hinzuweisen.

Physiologen entdecken eine überraschende Ordnung in dem Chaos, das im menschlichen Herzen entsteht und zur Hauptursache eines jähen, unerwarteten Todes werden kann.

Weitere Ideen zu Schöne hintern, Bilder und Naturfotografie. Systemtheorie, allgemeine, begründet vom Biologen Ludwig von Bertalanffy, der in den 50er Jahren lebende Organismen als Systeme der Selbststeuerung beschrieben hat.

Systeme sind von der Umwelt abgrenzbare, strukturierte Ganzheiten, deren Elemente in. Für E ermittelt der Analyst exemplarisch den Faktor 3,9.

Berechnet er nun mit Hilfe einer Tabellenkalkulation die Werte der Formel über Iterationen respektive. Früher waren Fraktale ziemlich selten, heute findet man sie überall.

Was ist geschehen? Spätestens seit der zweiten Hälfte des Eine Zeitung zieht einen kuriosen Vergleich. Halten Sie. Die Chaostheorie Prof. März Anregungen und Kritik zu diesem Skriptum bitte an: kostrykin mathematik.

Ich danke Frau Ulli Jacobi für die. Wenn man diese Zahl nun mit. Die Chaosforschung oder Chaostheorie bezeichnet ein nicht klar umgrenztes Teilgebiet der Nichtlinearen Dynamik bzw.

Dynamischen Systeme, welches der Mathematischen Physik oder angewandten Mathematik zugeordnet ist. Im Wesentlichen beschäftigt sie sich mit Ordnungen in speziellen dynamischen Systemen, deren zeitliche Entwicklung unvorhersagbar erscheint, obwohl die zugrundeliegenden Gleichungen.

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Ok ich besorge mir das Outlook gratis und probiere es dann aus! Die topologischen Dimensionen sind geradzahlig.

Eine Gerade besitzt die topologische Dimension 1, weil sie sich nur in einer Richtung ausbreitet. Eine theoretische ideale Gerade hat.

Demnach könnte bereits der Flügelschlag eines Schmetterlings einen Wirbelsturm auslösen - er muss es aber nicht, denn entscheidend sind schon kleinste Veränderungen in den Anfangsbedingungen.

Das macht Vorhersagen so schwierig. Johannes Wolansky hat das Chaos am. Unzweifelhaft ist die Physik der Teilchenbeschleuniger vor allem angewandte Elektro- und Magnetodynamik!

Welt-Formeln: 17 mathematische Gleichungen, die Geschichte machten. Vorher waren die Meteorologen davon ausgegangen, dass eine kleine numerische Abweichung bei Wetterdaten lediglich einem leichten Windhauch entspricht.

Und man nahm an, dass sich solche schwachen Winde gegenseitig ausgleichen und aufheben würden, ohne das Wetter spürbar zu beeinflussen. Im Laufe der Chaosforschung zeigte sich jedoch, dass nichtlineare chaotische Systeme grundsätzlich eine sensitive Abhängigkeit von ihren Rahmenbedingungen aufweisen und somit einen "Schmetterlingseffekt" zeigen.

Doch selbst wenn den Meteorologen alle Wetterdaten der Welt zur Verfügung stünden, wäre dies für langfristige Vorhersagen noch nicht ausreichend.

Den Meteorologen müssten also nicht nur die Wetterdaten vollständig zur Verfügung stehen, sondern sie müssten auch einen Computer mit unendlicher Rechenkapazität haben.

Doch sogar diese gleichsam göttlichen Eigenschaften wären noch nicht ausreichend. Denn als dritten und letztlich entscheidenden Grund erkannte Lorenz, dass das Wetter wie jedes nichtlineare System physikalisch unvorhersagbar und damit auch mathematisch unberechenbar ist.

Dies hätte zur Folge, dass sich die notwendigen Berechnungen mit jedem Rechenschritt unendlich potenzieren, während das Wetter immer nur einem der möglichen Abläufe folgt.

Der Rechenvorgang müsste also unendlich komplexer sein als das gesamte globale Wettersystem selbst und würde rasch hoffnungslos hinterherhinken.

Attraktoren und seltsame Attraktoren: Lorenz gelang es also nicht, Wettervorhersagen über längere Zeiträume zu ermöglichen. Im Rahmen seiner meteorologischen Forschungen entdeckte er jedoch, dass sogar das chaotische Wetter Ordnungsmuster aufweist, die man Attraktoren nennt.

Es gibt aber nicht nur Attraktoren in Form eines einzigen Punktes, sondern sie können auch linien- oder ringförmige Muster aufweisen.

Wenn ein solches Raubtier-Beute-System nicht durch besondere Einflüsse gestört wird, strebt es immer wieder dem gleichen zyklischen Muster zu: Wenn die Beutetiere zahlreich sind, finden die Raubtiere viel Nahrung und vermehren sich, so dass die Beutetiere weniger werden, woraufhin die Raubtiere weniger Nahrung finden und ebenfalls weniger werden, so dass sich die Beutetiere wieder vermehren können und die Raubtiere wieder viel Nahrung finden und so weiter, und so fort.

Ein Beispiel für seltsame Attraktoren sind Turbulenzen, also chaotische Wirbelbildungen in Strömungen von Gasen zum Beispiel in den Luftbewegungen der Erdatmosphäre und Flüssigkeiten beispielsweise in strömenden Gewässern.

Turbulenzen stellen für Naturwissenschaftler und Naturwissenschaftlerinnen nach wie vor ein Problem dar. Bereits der italienische Künstler, Erfinder und Naturforscher Leonardo da Vinci - beobachtete sie systematisch, der englische Physiker Newton näherte sich Turbulenzen mit linearen Berechnungsverfahren an, und auch der deutsche Physiker Heisenberg war von ihnen bis ans Lebensende fasziniert.

Er trug die durch die Simulation gewonnenen Daten in einem Koordinatenraum ein, so dass eine dreidimensionale Doppelspirale mit unendlichen Anziehungsbahnen sichtbar wurde - der sogenannte Lorenz-Attraktor.

Das Verhalten eines chaotischen Systems kann sich also allgemein in einem abgrenzbaren Bereich bewegen, nämlich auf den Anziehungsbahnen des seltsamen Attraktors.

Dennoch erscheint das Verhalten insgesamt unscharf und bleibt im Einzelfall physikalisch unvorhersagbar und mathematisch unberechenbar.

Turbulenzen und Systemübergänge: Die chaotischen Vorgänge in einer Turbulenz lassen sich also mit Hilfe von seltsamen Attraktoren nur grob beschreiben.

Den Naturwissenschaftlern gelang es dennoch, die Entstehung von Turbulenzen und damit auch anderen chaotischen Zuständen genauer zu erklären.

Wenn nun die Strömung noch wilder wird, dann bildet sich an dem Hindernis ein turbulentes Chaos, das keine Ordnung mehr erkennen lässt.

Bereits der britische Physiker Osborne Reynolds - untersuchte, auf welche Weise durch Rohre strömende Flüssigkeiten in Turbulenzen übergehen.

Er bewies mathematisch die Beobachtung, dass dies von der Geschwindigkeit der Strömung abhängig ist. Der deutsche Mathematiker Eberhard Hopf - entwickelte eine Theorie, die die Entstehung von Turbulenzen als eine Reihe von Systemübergängen beschreibt.

In seinem mathematischen Modell ging Hopf weiter davon aus, dass der ringförmige Attraktor zunächst die Form eines zweidimensionalen Grenzzykels annimmt.

Bei weiter zunehmender Strömung und dem nächsten Systemübergang wechselt der Attraktor dann zu einem dreidimensionalen Torus. Die instabilen Übergangspunkte, an denen die Strömung von einem Attraktor zum nächsten wechselt, nennt man die Hopf-Instabilitäten.

Hopf vermutete, dass bei der Entstehung von Turbulenzen eine Reihe von mehrdimensionalen Attraktoren aufeinanderfolgen. Der belgische Physiker David Ruelle entwickelte die Theorie von Hopf später fort, indem er es experimentell überprüfte.

Ruelle stellte nun bei seinen Experimenten fest, dass die Systemübergänge wesentlich rascher aufeinanderfolgen als es von Hopf vorausgesagt wurde.

Bifurkationen und Perioden-Verdopplungen: Auch der australische Physiker und Biologe Robert May befasste sich seit Beginn 70er Jahre mit den Systemübergängen, die bei der Entstehung von chaotischem Verhalten auftreten.

Er beschäftigte sich jedoch nicht mit Turbulenzen, sondern mit Problemen der Populationsdynamik. Dabei ist es grundsätzlich unbedeutend, ob es sich um Menschen, Kaninchen, Forellen, Schwammspinner-Raupen oder Grippeviren handelt.

Zum Beispiel werden bei einer Geburtenrate von 1,0 genauso viele neue Kaninchen geboren wie alte sterben. Bei einer Geburtenrate von 2,0 verdoppelt sich eine Population von Generation zu Generation, bei einer Geburtenrate von 3,0 verdreifacht sie sich.

Jedoch gibt es kein endloses Wachstum, da Populationen stets mit ihrer Nahrung und ihren Feinden Raubtier-Beute-Zyklen rückgekoppelt sind.

May untersuchte nun mit Hilfe eines Computers, wie sich in der Verhulst-Gleichung unterschiedliche Geburtenraten auf das Verhalten einer Population auswirken.

Er stellte fest, dass sich die Population bei niedrigen Raten zunächst auf nur einen Attraktor-Wert einpendelt. Wenn jedoch eine bestimmte Geburtenrate erreicht wird, spaltet sich der Attraktor plötzlich in zwei Attraktoren auf, und die Population schwankt nun von Generation zu Generation zwischen zwei Werten.

Es kann dann zwischen mehreren Attraktoren schwanken oder nur einem folgen. Bei einer weiter zunehmenden Geburtenrate verdoppelt sich die Zahl der Attraktoren jeweils weiter auf vier, acht, sechzehn oder mehr Attraktoren.

Er entdeckte, dass die Bifurkationen und Perioden-Verdopplungen in immer kürzeren Abständen aufeinanderfolgen und dabei in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen.

Feigenbaum errechnete diese Verhältniszahl bis auf einige Stellen hinter dem Komma und ermittelte so den Wert 4, Dabei darf natürlich nicht übersehen werden, dass die Feigenbaum-Konstante vermutlich unendlich viele Stellen hinter dem Komma hat.

Dies kann bei Berechnungen zu einem Rundungsfehler mit entsprechenden Abweichungen führen. Feigenbaum hatte somit eine allgemein gültige Konstante der Chaosforschung entdeckt - die sogenannte Feigenbaum-Konstante.

Mit Hilfe der Feigenbaum-Konstante können die einzelnen Systemübergänge bei der Entstehung von chaotischem Verhalten vorhergesagt sowie die Bifurkationen und die sich verzweigenden Attraktoren berechnet werden.

Damit zeigt sich entgegen den bisherigen Annahmen, dass sogar nichtlineare Systeme trotz aller Unschärfe teilweise physikalisch vorhersagbar und mathematisch berechenbar sein können.

Intermittenzen, Fraktale und Solitonen. Chaotische Systeme können sich also im Rahmen einer dynamischen Ordnungsbildung durch Iteration selbst organisieren und dabei ein interessantes Verhalten entwickeln.

Oft lässt sich ein System zunächst durch normale Attraktoren darstellen, die später in seltsame Attraktoren münden können. Bei derartigen Übergängen spalten sich an Bifurkationen die Systemzustände auf und es kommt zu Perioden-Verdopplungen.

Mit Hilfe der Reynoldszahl oder der Feigenbaum-Konstante lassen sich solche Systemübergänge auch berechnen. Intermittenzen und Cantor-Menge: Doch May waren bei seinen Forschungen zur Populationsdynamik noch weitere verblüffende Ordnungsmuster im Chaos aufgefallen.

Er erkannte nämlich, dass das Bevölkerungssystem nicht durchgehend chaotisch bleibt, nachdem es mehrere Bifurkationen und Perioden-Verdopplungen durchlaufen hat.

May stellte fest, dass das inzwischen chaotische Bevölkerungssystem kurzzeitig auch wieder in stabile Zustände übergeht.

Er hatte also mitten im chaotischen Verhalten einer Population Einsprengsel von Berechenbarkeit und Vorhersagbarkeit entdeckt - sogenannte Intermittenzen.

Briggs und Peat schildern Beispiele für chaotische Intermittenzen in der Ordnung: 16 Sie verweisen auf die plötzlichen Störungen, die gelegentlich in elektrischen Schaltungen von Radioverstärkern auftreten können intermittierendes Rauschen.

Intermittenzen von Ordnung im Chaos beziehungsweise von Chaos in der Ordnung zeigen die doppelwertigen Eigenschaften von nichtlinearen Systemen.

Daher wirft das Auftreten von Intermittenzen nach Meinung von Briggs und Peat eine grundsätzliche Frage auf: " Sind die einfachsten Ordnungen und das Chaos eines Systems beides Züge ein und desselben unteilbaren Prozesses?

Die Erscheinung der Intermittenz legt es sehr nahe, dass dies der Fall ist. Mandelbrot erkannte, dass dieses intermittierende Rauschen eine ähnliche Verteilung annimmt, wie die sogenannte Cantor-Menge auch Cantor-"Staub" genannt.

Um eine Cantor-Menge zu bilden, nimmt man als Grundlage eine Linie bestimmter Länge, aus der zunächst das mittlere Drittel entfernt wird.

Damit bleiben das erste und das dritte Drittel der Linie übrig, aus denen wiederum jeweils das mittlere Drittel entfernt wird.

Dieser Vorgang wird mit den dadurch immer kleiner werdenden Abschnitten der Linie beliebig oft theoretisch unendlich wiederholt.

Als eine solche Cantor-Menge konnte Mandelbrot nun die Fehlerverteilung bei der Datenübertragung darstellen. Fraktale und Mandelbrot-Menge: Mandelbrot erkannte bei seinen weiteren mathematischen Forschungen, dass sich nicht nur die Cantor-Menge, sondern auch andere Kuriositäten der Geometrie in der Umwelt wiederfinden lassen.

Sie wurde von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch - auf der Grundlage eines gleichseitigen Dreiecks entworfen. Auf die mittleren Drittel der drei Seiten wird jeweils ein entsprechend kleineres, aber ebenfalls gleichseitiges Dreieck gesetzt.

So entsteht ein Davidstern mit zwölf Seiten, auf deren mittlere Drittel dann jeweils wieder kleinere, gleichseitige Dreiecke gesetzt werden.

Dieser Vorgang wird mit den dadurch immer kleiner werdenden Seiten beliebig oft theoretisch unendlich wiederholt. Aufgrund dieser Überlegungen entwarf Mandelbrot seit der Mitte der 70er Jahre seine Vorstellungen von sogenannten Fraktalen und fraktalen Dimensionen.

Der Begriff "Fraktal" ist ein Kunstwort, das der Mathematiker vom lateinischen "frangere" brechen abgeleitet hat. Fraktale haben darüber hinaus in der Regel eine gebrochene, fraktale Dimension.

In der klassischen Geometrie kennt man nur Gebilde, die keine Dimension haben Punkte beziehungsweise ein-, zwei- oder dreidimensional sind Linien, Flächen, Körper.

Mandelbrot entwickelte ältere mathematische Verfahren fort, mit denen man auch Dimensionen berechnen kann, die zwischen null und eins, zwischen eins und zwei oder zwischen zwei und drei liegen.

Solche gebrochenen, fraktalen Dimensionen lassen sich nur schwierig anschaulich machen. Aus einigen Metern Abstand erkennen wir wieder, dass das Knäuel dreidimensional ist.

Die Kugel besteht aus einer verworrenen Linie und ist also offenbar eindimensional. Bei noch näherer Betrachtung verwandelt sich diese Linie eine Säule endlicher Dicke, und der Faden wird dreidimensional.

Dies ist auch bei der sogenannten Peano-Kurve der Fall. Sie wurde von dem italienischen Mathematiker Guiseppe Peano - entdeckt, der auch die Welthilfssprache Interlingua erfunden hat.

Die Peano-Kurve ist eine sich nie überschneidende Linie, die so fein gewunden ist, dass sie alle Punkte einer Fläche berührt. Die eindimensionale Peano-Kurve hat somit gleichzeitig die fraktale Dimension 2,0 einer Fläche.

Die meisten gewundenen Linien haben aber eine fraktale Dimension, die zwischen eins und zwei liegt und durch eine entsprechende gebrochene Zahl angegeben wird.

So hat zum Beispiel die Kochsche Kurve die fraktale Dimension 1, Aber auch zwischen Punkten und Linien sowie zwischen Flächen und Körpern gibt es fraktale Dimensionen.

So haben die gebündelten Punkte der Cantor-Menge die fraktale Dimension 0,63 und für die Oberflächen von Wolken und Geröllfeldern wurden die fraktalen Dimensionen 2,35 beziehungsweise 2,7 errechnet.

Selbstähnlichkeit ist eine universale Erscheinung der Natur und sie lässt sich leicht am Beispiel von Zweigen, Ästen und Bäumen oder Steinen, Felsen und Bergen verdeutlichen.

Sie ist auch ein wichtiges Merkmal von nichtlinearen chaotischen Systemen, wie die eindrucksvolle und zugleich allgemeingültige Beschreibung einer Turbulenz durch den deutschen Dichter Friedrich Schiller - am Anfang dieses Unterabschnittes veranschaulicht.

Die in immer kleinere Einzelheiten gegliederten Fraktale und die Intermittenzen von Chaos in der Ordnung oder Ordnung im Chaos bringen aber nicht nur Selbstähnlichkeit in nichtlineare Systeme.

Fraktale und Intermittenzen zeigen zugleich die widersprüchlichen, gebrochenen Eigenschaften von nichtlinearen Systemen, die trotz ihres allgemein chaotischen Verhaltens bestimmte Ordnungsmuster aufweisen.

Solche geordnete Strukturen entstehen, weil sich nichtlineare Systeme durch die Iteration ihrer Systemvorgänge im Rahmen einer dynamischen Ordnungsbildung selbst organisieren können.

Er bemerkte nämlich bei einem Ausritt an einem Schiffskanal eine Welle, die sich in dem Kanal über längere Zeit mit gleichbleibender Form und Geschwindigkeit fortpflanzte.

Russell wusste, dass sich Wellen normalerweise aufgrund von vielen kleinen Störungen rasch in chaotischen Turbulenzen auflösen.

Ein "Soliton" ist dagegen eine Welle, die in einem chaotischen System über längere Zeit stabil bleibt.

Die ungewöhnliche Stabilität von Solitonen entsteht durch nichtlineare Wechselwirkungen, bei denen die verschiedenen Schwingungen in ihnen rückgekoppelt werden.

Die niederländischen Mathematiker Diederik Johannes Korteweg - und Gustav de Vries - entwickelten bereits Ende des vorigen Jahrhunderts die nichtlineare KdV-Gleichung, so genannt nach den Anfangsbuchstaben ihrer Nachnamen , mit der man auch Solitonen berechnen kann.

Diese können nämlich nur in einem eng begrenzten Bereich nichtlinearer Rückkopplung entstehen: Denn wenn die Welle zu stark ist, bricht sie bald in sich zusammen, und wenn sie zu schwach ist, verebbt sie rasch.

Nichtlineare Solitonen treten aber nicht nur in engen Schiffskanälen oder Flussmündungen auf, sondern auch in den Weiten der Ozeane. Dies ist dann der Fall, wenn unterseeische Beben oder Vulkane seismische Wellen auslösen, und die bekannteste Form hierfür ist vermutlich der im Pazifischen Ozean auftretende Tsunami.

Solche über hunderte von Kilometern stabilen Wellen treten aber nicht nur im Pazifischen Ozean auf, sondern auch in anderen Weltmeeren; zum Beispiel wurde das portugiesische Lissabon im Jahr durch ein Erdbeben und eine nachfolgende seismische Welle zerstört.

Doch Solitonen wurden bislang nicht nur in turbulenten Gewässern entdeckt, sondern auch in den chaotischen Luftbewegungen der Erdatmosphäre.

Solche atmosphärischen Solitonen entstehen durch rasche Luftdruckwechsel, und sie können sich ebenfalls als stabile Druckwellen über hunderte von Kilometern fortbewegen.

Geistes- und sozialwissenschaftliche Ansätze. Nichtlineare Systeme können sich also im Rahmen einer dynamischen Ordnungsbildung durch Iteration selbst zu bestimmten Strukturen organisieren wie Attraktoren, Bifurkationen, Intermittenzen, Fraktale, Solitonen.

Diese Entdeckungen stammen ausnahmslos von naturwissenschaftlichen Ansätzen der Chaosforschung, wohingegen die Geistes- und Sozialwissenschaften bis heute vernachlässigt werden.

Ein wesentlicher Grund für die Vernachlässigung der geistes- und sozialwissenschaftlichen Chaosforschung liegt darin, dass die Chaostheorie im Rahmen der Physik aus dem Forschungsbereich der nichtlinearen Dynamik entstanden ist und sich die Chaosforschung daher zunächst mit verwandten Fachgebieten, wie der Mathematik, Chemie oder Biologie beschäftigt hat.

Noch wichtiger ist jedoch der Grund, dass viele Chaosforscher es nicht einmal für möglich oder sinnvoll halten, geistes- und sozialwissenschaftliche Ansätze auf die Chaostheorie anzuwenden.

Derartige Vorbehalte hat auch der Biophysiker, Chaosforscher und Philosoph Bernd-Olaf Küppers, der ursprünglich eine naturwissenschaftliche Laufbahn einschlug und nach seinem Physikstudium am Max-Planck-Institut für biophysikalische Chemie in Göttingen arbeitete.

Dort entwickelte er eine Theorie zur Entstehung biologischer Information. Später widmete sich Küppers jedoch stärker den geisteswissenschaftlichen Fragen seiner Arbeit, und er hat mittlerweile einen Lehrstuhl am Philosophischen Institut der Universität Jena.

Eine vermutete Nichtlinearität lasse sich nicht endgültig beweisen, womit der wissenschaftliche Grundsatz der Verifizierbarkeit verletzt werde Aussagen sind sinnlos, wenn sie sich grundsätzlich nicht beweisen lassen.

Statt dessen könnten sie laut Küppers in Wirklichkeit auf eine komplexe Weise linear und somit berechenbar und vorhersagbar sein, auch wenn dies bislang nur noch nicht erkannt wurde.

Gegen diese Möglichkeit lässt sich jedoch wiederum einwenden, dass es grundsätzlich unwiderlegbar ist, ob soziale Vorgänge linear ablaufen. Eine vermutete Linearität lässt sich also nicht endgültig widerlegen, womit der wissenschaftliche Grundsatz der Falsifizierbarkeit verletzt würde Aussagen sind sinnlos, wenn sie sich grundsätzlich nicht widerlegen lassen.

Küppers ist des weiteren der Meinung, dass es keinen wissenschaftlichen Nutzen biete, Ansätze der Chaostheorie auf geistes- und sozialwissenschaftliche Bereiche anzuwenden.

Der Nutzen der Chaosforschung sei selbst für Naturwissenschaften schwierig zu belegen, wie zum Beispiel in der Meteorologie. Gegen diesen Einwand spricht aber, dass umgekehrt der wissenschaftliche Nutzen von klassischen, linearen Systemansätzen begrenzt ist.

Weder das Wetter noch soziale Vorgänge können berechnet oder vorhergesagt werden, sondern es lassen sich allenfalls für begrenzte Zeiträume und Bereiche statistische Wahrscheinlichkeiten ermitteln.

Dagegen scheint es von Nutzen zu sein, solche Vorgänge in ihrem ungeordneten und chaotischen Verhalten ernst zu nehmen, auch wenn sich deren Nichtlinearität nicht endgültig beweisen verifizieren lässt.

Denn soziale Vorgänge haben zahlreiche nichtlineare Eigenschaften: So können sie nicht in ihre Bestandteile zerlegt werden, sie lassen sich nicht aus ihrem Zusammenhang lösen, weisen Rückkopplungen auf und haben eine sensitive Abhängigkeit von ihren Rahmenbedingungen.

Darüber hinaus hält es Küppers aber immerhin für vertretbar, bereits gebräuchliche Begriffe der Chaostheorie von den Naturwissenschaften behutsam auf die Geistes- und Sozialwissenschaften zu übertragen.

Geschichtswissenschaft: Es gibt bereits zahlreiche andere Ansätze, um die Chaostheorie auf verschiedene Bereiche der Geistes- und Sozialwissenschaften zu übertragen.

Angesichts der Vorbehalte von Küppers überrascht es, dass sogar er selbst für ein bestimmtes Gebiet eine geistes- und sozialwissenschaftliche Chaosforschung anregt - und zwar für die Geschichtswissenschaft: " Von ihrer enormen physikalischen Bedeutung einmal abgesehen, stellen die chaotischen Systeme ganz offensichtlich auch ein interessantes Modell für das Phänomen der Geschichtlichkeit dar.

Denn die Prozesse, die in solchen Systemen ablaufen, sind weder umkehrbar noch wiederholbar. Sie sind ebenso einzigartig wie alle geschichtlichen Vorgänge.

Bühl hat einen ähnlichen Ansatz und will die Chaostheorie zur Erklärung von sozialem Wandel nutzen. Die Chaos-Theorie ist aber sicher unbrauchbar, um einen gesellschaftlichen Dauerzustand zu beschreiben oder eine "kulturkritische" universelle Beschreibung gesellschaftlicher Zustände oder Entwicklungen zu geben, wie dies noch bei den soziologischen "Klassikern" geschieht.

Obwohl geschichtliche Vorgänge meist durch das absichtsvolle Handeln von Menschen bestimmt sind, können Revolutionen oder Kriege nicht vorhergesagt werden.

Ein solches gesellschaftliches Chaos wird daher meist als erschreckend, unheimlich und gefährlich angesehen. Wirtschaftswissenschaft: Ähnliches gilt auch für die Wirtschaftswissenschaft, in der Börsenkräche oder Konjunkturkrisen nicht berechenbar sind.

Jedoch war bereits Mandelbrot aufgefallen, dass zahlreiche Verlaufskurven von Wirtschaftsdaten nichtlineare chaotische Eigenschaften haben.

Solche Kurven weisen häufig Fraktale oder Intermittenzen auf und besitzen daher eine auffallende Selbstähnlichkeit. Die Entdeckung von chaotischen Strukturen im wirtschaftlichen Bereich darf aber nach Meinung der Wirtschaftswissenschaftler Otto Loistl und Iro Betz zu keinen übertriebenen Erwartungen führen: " Insbesondere in den Sozial- und Gesellschaftswissenschaften hat die Chaostheorie einen z.

Der Wirtschaftswissenschaftler Albert Christmann schildert ebenfalls Beispiele für chaostheoretische Ansätze in der Ökonomie. Zum einen reagieren die Lösungen des Systems sensitiv auf veränderte Startwerte, so dass infinitesimal geringe Abweichungen bereits zu völlig anderen Verläufen führen.

Zum anderen zeigt auch das Variieren von Parameterwerten die gleichen Auswirkungen. Eine auf chaotischen Lösungen basierende Prognose der wirtschaftlichen Zukunft kann deswegen zu einer totalen Fehleinschätzung führen.

Psychologie: Es gibt auch vielversprechende Versuche, die Chaostheorie für die Psychologie zu nutzen. Eine solche Entwicklungsdynamik erinnert stark an das Feigenbaumszenario: periodische Oszillationen kündigen das vollständige Abgleiten des Systems ins Chaos an.

In solchen Zuständen können sozial gelernte Verhaltensmuster [ Es] existieren phylogenetisch tief verankerte Reaktionen wie Flucht, Angriff oder Totstellreflex, die in solchen Situationen - in der Terminologie der Chaos-Theorie - starke Attraktoren darstellen.

Instabilitäten gehen notwendigerweise mit Fluktuationen einher, was an Bifurkationspunkten zu einem "Abgleiten" des Verhaltens in solche Attraktoren führen kann.

Genau dieses ist bei Affekttaten zu beobachten. Eine Meta-Theorie könnte helfen [ Briggs und Peat gehen sogar der Frage nach, ob sich mit der Chaostheorie die Schöpferkraft und der Einfallsreichtum des menschlichen Geistes erklären lassen: " Könnten die Prinzipien der Nichtlinearität auch auf die Kreativität des Menschen anwendbar sein, auf unsere Fähigkeit, ein Kunstwerk zu schaffen oder eine wissenschaftliche Entdeckung zu machen?

In diesem Text wurden die Grundzüge der Chaostheorie mit ihren natur- und geisteswissenschaftlichen Ansätzen vorgestellt. Darüber hinaus wurden die wichtigsten Vorbehalte gegen eine geistes- und sozialwissenschaftliche Chaosforschung geschildert und ausgeräumt.

Es wurde dargelegt, dass sich nichtlineare chaotische Systeme durch die Iteration ihrer Systemvorgänge im Rahmen einer dynamischen Ordnungsbildung selbst organisieren können.

Dabei bilden sie verblüffende Ordnungsmuster, wie Attraktoren, Bifurkationen, Intermittenzen, Fraktale oder Solitonen.

Derartige Ausnahmen der Ordnung bestätigen aber lediglich die allgemeine Regellosigkeit im Chaos.

Chaostheorie Formel

Chaostheorie Formel Modellierung von dynamischen, nichtlinearen Systemen nach der Chaostheorie

Diese beiden Kategorien stehen in einem Interaktionsverhältnis zueinander. Neue Wege naturwissenschaftlichen Denkens. Anhand des menschlichen Herzens lässt sich dieses Prinzip der Aufteilung gut erklären. Der Meteorologe E. Die unabdingbare Voraussetzung für das Auftreten von deterministischem Chaos ist die Nichtlinearität des untersuchten Systems. Entscheiden in Zeiten steigender Komp Zusammenfassung In diesem Text wurden die Grundzüge der Chaostheorie mit ihren natur- und geisteswissenschaftlichen Meistgespielten Spiele vorgestellt. Was ist Kombinatorik?

Chaostheorie Formel Video

Rendite mit der Chaos-Theorie: Marktneutrale Strategien von Dr. Wilhelm Berghorn

Posted by Tojazil

5 comments

Meztishicage

entschuldigen Sie, nicht in jenen Abschnitt.....

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